2011年10月，自学10099现代代数真题及答案1。选择题(本大题有5个分题，每个分题3分，共15分)

每个子问题中列出的四个选项中只有一个符合问题的要求。请在问题后的括号内填写其代码，错选、多选或不选均不得分。

1.设集合A包含3个元素，集合B包含4个元素，那么A和B的乘积集合AB包含元素()

A.3 B.4

公元7世纪

2.设a=b=r(实数集)，如果从a到b的映射

:x2x，xR，

从甲到乙是()

A.全射而不是单射

C.一对一映射d .既不是内射也不是满射

3.设S3={(1)、(12)、(13)、(23)、(123)、(132)}，那么S3的子群共有()

A.2 B.4

C.6 D.8

4.设Z 12是模12的剩余类可加群，那么Z 12总共有()个生成元。

A.4 B.6

约8个月

5.设I1，I2是环R的两个子环，0是环R的零元素，那么在下面的集合中，它可能不是环R的子环()。

A.i1 I2={x | x i1或xI2}B.{0}

C.i1 I2={x | x i1和x I2} D .环R本身

二.填空(本科目有10个分题，每个分题3分，共30分)

请在每个问题的空白处填写正确答案。如果你填错或没填错，不会给你分数。

6.设“”是集合AA到A的代数运算，如果A、b、cA和“”满足，那么代数运算“”适用于结合律。

7.让(g，)是一个群，那么对于A，B，cG，方程AX=B和Ya=B在G中有唯一解，那么这两个方程的解分别是

8.让=(5234)、=(135) S5，然后=(表示为几个没有公共数的循环置换的乘积)

9.设Z12={[0]，[1]，[2]，[11]是一个以12为模的剩余类可加群，那么z12的子群就有了。

10.在三次对称群S3中，设子群H={(1)、(23)}，那么子群H相对于元素(132)的右陪集H={(1 132)=

1.让(r，)是至少有两个元素的环。如果满足R，则R是除环。

12.假设Z6={[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}是模6的剩余类环，那么，在Z6的子集中

{[0],[2],[4]},{[1]},{[0],[3]}

，不是Z6的子环。

13.如果f是一个域，那么f的理想有一个。

14.设Z[x]为整系数多项式环，f(x)=6×2-24，则Z[x]中f(x)的不可约分解为

15.已知I是有理数域Q上的两个代数元素，那么有理数域Q上Q(，I)的域扩张数为：

(Q(，i):Q)=

三.回答问题(本大题有3个分题，每个分题10分，共30分)

16.设Z9为剩余类模9的可加群，即Z9={[0]，[1]，[2]， [8]}

找出Z9的所有生成元和Z9的所有子群。

17.设数集G={2M3N | m，nZ}，已知G相对于数的乘法成组地将G映射到G:2M3N2m，2m3nG，证明是G到G的同态映射，并求出该映射的核Ker。

18.设Z5[x]为剩余类环z5={}模5上的一元多项式环，在Z5[x]中简化(给出简化步骤):

四.证明题(有3个分题，第19、20分题10分，第21分题5分，共25分)

19.设g为一个群，a，b g，若元素a的阶为3，b的阶为4，且ab=ba，则证明ab的阶为12。

20.设h是循环群G的子群，证明h也是循环群。

21.让已知R的矩阵的加法和乘法做一个环证明：I是R的子环，但并不理想。